数学建模的基本概念与方法 - 知识点总结与练习题
数学建模：将现实世界中的问题转化为数学问题的过程。
线性模型是最基本的数学模型，形式为 \( y = mx + c \)
\( m \) 表示斜率，\( c \) 表示截距
适用于两个变量之间存在线性关系的情况
指数模型形式为 \( y = ab^x \) 或 \( y = ae^{kx} \)
\( a \) 是初始值，\( b \) 或 \( e^k \) 是增长因子
适用于描述人口增长、复利计算等指数增长或衰减的现象
二次模型形式为 \( y = ax^2 + bx + c \)
当 \( a > 0 \) 时，抛物线开口向上；当 \( a < 0 \) 时，开口向下
适用于描述抛物线形状的变化趋势，如物体运动轨迹、利润最大化问题等
| 模型类型 | 数学形式 | 适用场景 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 线性模型 | \( y = mx + c \) | 匀速增长、简单比例关系 | 斜率恒定 |
| 指数模型 | \( y = ab^x \) | 人口增长、复利计算 | 增长速度递增/递减 |
| 二次模型 | \( y = ax^2 + bx + c \) | 抛体运动、利润最大化 | 有最大值或最小值 |
题目：一辆汽车租赁公司收费标准为：基础费用50元，每行驶1公里收费0.5元。
建立行驶距离与租赁费用之间的数学模型，并计算行驶100公里的总费用。
设行驶距离为 \( x \) 公里，总费用为 \( y \) 元
题目：某城市人口为10万，年增长率为3%。
建立人口增长的数学模型，并计算10年后的人口数量。
设初始人口为 \( P_0 = 100000 \)，年增长率为 \( r = 0.03 \)，\( t \) 年后的人口为 \( P(t) \)
某商店销售一种商品，已知销售数量与价格之间存在线性关系。当价格为10元时，每天销售100件；当价格为15元时，每天销售80件。
a) 建立价格 \( p \) 与销售数量 \( q \) 之间的线性模型
b) 当价格为20元时，预计每天销售多少件？
答题区域：
某种细菌在适宜条件下每30分钟繁殖一次，初始数量为100个。
a) 建立时间 \( t \)（小时）与细菌数量 \( N \) 之间的指数模型
b) 计算5小时后的细菌数量
答题区域：
某公司生产某种产品，成本函数为 \( C(x) = 2x^2 - 80x + 1000 \)，其中 \( x \) 为生产数量。
a) 求生产多少件产品时，成本最低？
b) 最低成本是多少？
答题区域：
解答过程：
a) 设线性模型为 \( q = mp + b \)，代入已知条件：
当 \( p = 10 \)，\( q = 100 \)：\( 100 = 10m + b \)
当 \( p = 15 \)，\( q = 80 \)：\( 80 = 15m + b \)
解方程组得：\( m = -4 \)，\( b = 140 \)
因此，线性模型为 \( q = -4p + 140 \)
b) 当 \( p = 20 \) 时，代入模型：\( q = -4 \times 20 + 140 = -80 + 140 = 60 \) 件
解答过程：
a) 每30分钟繁殖一次，即每小时繁殖2次，增长率为100%每30分钟
指数模型为：\( N(t) = 100 \times 2^{2t} \) 或 \( N(t) = 100 \times 4^t \)
b) 当 \( t = 5 \) 时，代入模型：\( N(5) = 100 \times 4^5 = 100 \times 1024 = 102400 \) 个
解答过程：
成本函数为二次函数 \( C(x) = 2x^2 - 80x + 1000 \)，由于二次项系数为正，抛物线开口向上，存在最小值
最小值出现在顶点处，顶点横坐标为 \( x = -b/(2a) = 80/(2 \times 2) = 20 \)
a) 生产20件产品时，成本最低
b) 最低成本为 \( C(20) = 2 \times 20^2 - 80 \times 20 + 1000 = 800 - 1600 + 1000 = 200 \) 元